35.Формула полной вероятности и формула Бейеса. Пусть даны две корзины: в первой лежат 9 белых и 8 чёрных шара, во втором — 6 белых и 6 чёрных шаров. Из первой корзины во вторую перекладывается 3 шара. После этого из второй корзины берётся 4 шара. 1. Найдите вероятность того, что среди взятых из второй корзины было 2 белых шара. 2. Предположим, что из второй корзины были взяты 2 белых шара. Найдите вероятность того, что из первой корзины во вторую переложили 3 чёрных шара.

Задача решается с использованием формулы полной вероятности и формулы Байеса.

1. Для нахождения вероятности того, что среди взятых из второй корзины было 2 белых шара, необходимо просуммировать вероятности всех возможных комбинаций.

Пусть событие A – взят 2 белых шара из второй корзины.

Поскольку существуют две корзины, воспользуемся формулой полной вероятности:
P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2)

где P(A|B1) – вероятность события A при условии, что шары были взяты из первой корзины
P(A|B2) – вероятность события A при условии, что шары были взяты из второй корзины
P(B1) – вероятность выбрать первую корзину
P(B2) – вероятность выбрать вторую корзину

Вероятность выбрать первую корзину:
P(B1) = 1/2

Вероятность выбрать вторую корзину:
P(B2) = 1/2

Вероятность события A при условии, что шары были взяты из первой корзины:
P(A|B1) = C(9, 2) / C(17, 4), где C(n, k) – число сочетаний из n по k

Вероятность события A при условии, что шары были взяты из второй корзины:
P(A|B2) = C(6, 2) / C(12, 4)

Вычислим эти значения:

P(B1) = 1/2
P(B2) = 1/2
P(A|B1) = C(9, 2) / C(17, 4) = 36 / 238
P(A|B2) = C(6, 2) / C(12, 4) = 15 / 66

Теперь можем найти вероятность события A:
P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) = (36 / 238) * (1/2) + (15 / 66) * (1/2)

Подсчитав эту сумму, получаем около 0.2067, что и является ответом на первую часть задачи.

2. Для второй части задачи мы используем формулу Байеса.

Пусть событие C – из первой корзины были переложены 3 чёрных шара.

Нужно найти вероятность события C при условии, что были взяты 2 белых шара из второй корзины, то есть P(C|A).

Используем формулу Байеса:
P(C|A) = (P(A|C) * P(C)) / P(A)

Вероятность события A при условии C:
P(A|C) = C(8, 2) / C(17, 4), так как в первой корзине из 17 шаров 9 белых и 8 черных, и нужно выбрать 2 из 8 черных.

Вероятность события C:
P(C) = 1/2, так как вероятность перекладывать шары из разных корзин такая же, как и вероятность выбрать вторую корзину.

JExist Теперь можем найти вероятность события C при условии, что были взяты 2 белых шара из второй корзины:
P(C|A) = (C(8, 2) / C(17, 4)) * (1/2) / P(A)

Подставив числовые значения из рассчета в пункте 1, получим около 0.2959, что и является ответом на вторую часть задачи.