Начнем с переноса всех терминов на одну сторону неравенства:
√x² – 8x + x – 7 – 3 > 0
√x² – 7x – 10 > 0
Далее, возведем обе части неравенства в квадрат для избавления от корня:
(x² – 7x – 10) > 0
Теперь решим это квадратное уравнение:
Найдем корни уравнения x² – 7x – 10 = 0.
Применим формулу дискриминанта D = b² – 4ac:
D = 7² – 4(1)(-10) = 49 + 40 = 89.
Так как Дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных корня.
Используем формулу для нахождения корней x = (-b ± √ D) / 2a:
x₁ = (7 + √89) / 2 ≈ 6.24
x₂ = (7 – √89) / 2 ≈ 0.76
Теперь мы видим, что уравнение имеет две области: (-∞, 0.76) и (6.24, +∞).
Осталось понять, в каких областях истинно неравенство.
Выберем тестовую точку в каждой области:
Пусть x = 0: (0² – 7(0) – 10) = -10 < 0, следовательно, область (6.24, +∞) неверная. Пусть x = 6: (6² - 7(6) - 10) = -24 < 0, следовательно, область (-∞, 0.76) неверная. Таким образом, истинная область значений для данного неравенства - (0.76, 6.24).