Для решения этой задачи нужно найти все значения переменной x, при которых неравенство выполняется.
Шаги решения:
1. Разобьем неравенство на 3 части: первое слагаемое, второе слагаемое и третье слагаемое.
2. Рассмотрим первое слагаемое: 9^(x^2-2x). Мы знаем, что 9 = 3^2, поэтому это можно переписать как (3^2)^(x^2-2x), что равно 3^(2(x^2-2x)). Теперь мы можем применить свойства степеней и записать это как 3^(2x^2-4x).
3. Рассмотрим второе слагаемое: 4*3^(x^2+3). Заметим, что 4 = 2^2, поэтому это можно переписать как 2^2*3^(x^2+3), что равно (2*3^(x^2+3))^2. Теперь мы можем применить свойства степеней и записать это как (2*(3^((x^2+3)+1)))^2, что равно (2*3^(x^2+4))^2.
4. Рассмотрим третье слагаемое: 3^(4x+7).
5. Теперь наше неравенство выглядит следующим образом: 3^(2x^2-4x) – (2*3^(x^2+4))^2 + 3^(4x+7) >= 0.
6. Приведем подобные слагаемые: 3^(2x^2-4x) – 4*(3^(x^2+4))^2 + 3^(4x+7) >= 0.
7. Обозначим 3^(x^2+4) за a. Тогда неравенство можно переписать следующим образом: a^2 – 4a^2 + 3^(4x+7) >= 0.
8. Упростим неравенство: -3a^2 + 3^(4x+7) >= 0.
9. Найдем точки пересечения графиков функций -3a^2 и 3^(4x+7). Для этого приравняем их: -3a^2 = 3^(4x+7).
10. Решим это уравнение относительно x. Затем найдем интервалы, где -3a^2 >= 0 (т.е. a^2 <= 0) и где 3^(4x+7) >= 0.
11. Для случая -3a^2 >= 0, получим a^2 <= 0. Это имеет только одно решение: a = 0.
12. Для случая 3^(4x+7) >= 0, заметим, что основание степени (т.е. число 3) положительно. Таким образом, неравенство выполняется для любых значений x.
13. Обратимся к исходному обозначению: a = 3^(x^2+4) = 3^((x+2)(x-2)). Для a = 0 получаем 3^((x+2)(x-2)) = 0. Опять же, основание степени положительно, поэтому решений для этого случая нет.
14. Таким образом, неравенство выполняется для любых значений x, кроме x = -2 и x = 2.
Ответ: M = R {-2, 2}. Где R – множество всех действительных чисел.