Для решения данной задачи, нам нужно свести левую и правую части равенства к одной и той же формуле и проверить, выполняется ли равенство в обоих случаях.
Возьмем левую часть выражения и попытаемся упростить ее.
(a ∨ b) ∨ (c ∨ b) = (a ∨ (b ∨ b)) ∨ c (ассоциативность)
= (a ∨ b) ∨ c (идемпотентность)
Теперь рассмотрим правую часть выражения и также попытаемся упростить ее.
∼ (a ∧ b) → (c ↔ a) = ∼(a ∧ b) ∨ (c ↔ a) (импликация)
= (∼a ∨ ∼b) ∨ (c ↔ a) (дистрибутивность)
= (∼a ∨ ∼b) ∨ ((c ∧ a) ∨ (∼c ∧ ∼a)) (эквивалентность ↔)
= (∼a ∨ ∼b) ∨ ((c ∧ a) ∨ (∼a ∧ ∼c)) (коммутативность ∧)
= (∼a ∨ ∼b) ∨ (a ∧ c) ∨ (∼a ∧ ∼c) (ассоциативность ∨)
= (∼a ∨ ∼b ∨ a) ∧ (∼a ∨ ∼b ∨ c) ∧ (a ∨ a ∨ ∼c) ∧ (∼a ∨ c ∨ ∼c)
= (∼a ∨ a ∨ ∼b) ∧ (∼a ∨ ∼b ∨ c) ∧ (a ∨ ∼c) ∧ (∼a ∨ c ∨ ∼c) (идемпотентность)
= (T ∨ ∼b) ∧ (∼a ∨ ∼b ∨ c) ∧ (a ∨ ∼c) ∧ (∼a ∨ T) (законы исключения третьего и идемпотентности).
= T ∧ (∼a ∨ ∼b ∨ c) ∧ (a ∨ ∼c) ∧ T (дизъюнктивность ∨)
= (∼a ∨ ∼b ∨ c) ∧ (a ∨ ∼c) (идемпотентность)
Теперь сравним левую и правую части.
Левая часть: (a ∨ b) ∨ c
Правая часть: (∼a ∨ ∼b ∨ c) ∧ (a ∨ ∼c)
Оба выражения равны только в том случае, если каждый из элементов левой части будет равен соответствующему элементу правой части.
(a ∨ b) = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
a = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
b = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
c = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
a = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
b = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
c = (∼a ∨ ∼b ∨ c)
Решив данную систему уравнений, мы определим, когда равенство (a ∨ b) ∨ (c ∨ b) =∼ (a ∧ b) → (c ↔ a) выполняется.
В шагах решения я привел алгоритм упрощения левой и правой частей выражения. Затем сравнил их и получил систему уравнений. Решив эту систему, можно определить, когда выполняется равенство заданных выражений.