Для определения высшего порядка бесконечно малой alpha(x) по отношению к beta(x) нужно найти предел отношения alpha(x) к beta(x), когда x стремится к некоторой точке x₀.
Пусть предел этого отношения равен L. Тогда можно записать это следующим образом:
lim x -> x₀ (alpha(x))/beta(x) = L
Для высшего порядка бесконечно малой alpha(x) по отношению к beta(x) необходимо, чтобы этот предел L равнялся нулю.
Подробнее, чтобы показать, что alpha(x) более высокого порядка, чем beta(x), нужно выполнить следующие шаги:
1. Выразить отношение alpha(x) к beta(x):
L = lim x -> x₀ (alpha(x))/beta(x)
2. Проверить, что предел L существует. Для этого нужно убедиться в том, что и числитель, и знаменатель имеют пределы при x стремящемся к x₀.
3. Вычислить предел L. Если L = 0, то это означает, что alpha(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем beta(x).
4. Если предел L ≠ 0, то alpha(x) не является более высокого порядка, чем beta(x).
Пример:
Пусть alpha(x) = x² и beta(x) = x.
lim x -> 0 (x²)/x = lim x -> 0 x = 0
Поскольку предел равен нулю, мы можем сказать, что alpha(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем beta(x).