Обозначим сторону треугольника KLM через а. Так как треугольник KLM прямоугольный, то катеты равны а, а гипотенуза равна 2а.
Треугольник KPQ равнобедренный, так как KP – биссектриса. Тогда KP = KQ = а+2.
Обозначим точку пересечения MP и KL через O. Так как O – середина стороны KL, то MO = OL = a/2.
Треугольник LOQ тоже равнобедренный, так как OL – высота, опущенная из вершины O, и LQ – медиана.
Обозначим радиус вписанной окружности через r, а сторону треугольника IDQ через х.
Так как искомая окружность касается сторон KM и KL, то точки Q и S делят сторону KP на три равные части.
Обозначим расстояние от точки Q до точки S через с. Тогда KS = QP = с.
Также PQ = KP – KQ = (а+2) – (а+2-с) = с.
Так как треугольник LOQ равнобедренный, то задачу можно решить, найдя одну из координат точки Q.
Разобьем треугольник LOQ на два прямоугольных треугольника LOQ1 и Q1OQ2.
По теореме Пифагора в треугольнике LOQ1 имеем:
LOQ1^2 = LO^2 – Q1O^2 = (a/2)^2 – c^2 = a^2/4 – c^2.
По теореме Пифагора в треугольнике Q1OQ2 имеем:
Q1O^2 = OOQ2^2 + OQ2^2 = (r + r)^2 + r^2 = 5r^2.
Тогда получаем, что LOQ1^2 + Q1O^2 = (a^2/4 – c^2) + 5r^2 = 4r^2.
Так как LOQ1^2 + Q1O^2 = 4r^2, то из этого уравнения можно найти значение r.
После нахождения r, можно найти значение LOQ1^2 и затем найти LOQ1.
Далее, используя найденное значение LOQ1, можем найти значение LOQ.
Используя LOQ, можно найти значение LOQ2 и после этого найти значение Q2O и соответственно значение QO.
После нахождения значения QO, можно найти значение IQ1 по формуле IQ1 = QO – LOQ1.
Далее, найдя IQ1, можно найти значение IQ и затем значение ОQ.
Таким образом, получим все координаты точки Q.
Площадь треугольника IDQ равна произведению его высоты на основание IDQ.
Высота IDQ проходит через центр окружности и равна 2р.
Основание IDQ равно х.
Тогда площадь треугольника IDQ равна S = 2р * х.