Предположим, что точка О может быть выбрана только для некоторых сторон, а для остальных точка О находится за пределами многоугольника. Обозначим такие стороны многоугольника как a и b.
Построим треугольник ABC, где AB – сторона a многоугольника, а BC – сторона b многоугольника. При этом точка О выведена за пределы многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки О на стороны a и b, пересекают эти стороны на их продолжении.
Так как перпендикуляры, опущенные из точки О на стороны a и b, попадают на продолжения этих сторон, значит, точка О лежит на одном из продолжений стороны a или b. Пусть О лежит на продолжении стороны a.
Теперь рассмотрим сторону c многоугольника, для которой точка О не может быть выбрана так, чтобы перпендикуляр, опущенный из неё на сторону с, попадал на сторону с. Построим треугольник BCD, где BC – сторона b многоугольника, а CD – сторона c многоугольника.
Так как точка О лежит на продолжении стороны a, то перпендикуляр, опущенный из точки О на сторону a, пересекает сторону a. Значит, точка О не лежит на стороне a и не может быть выбрана для стороны a.
Таким образом, мы пришли к противоречию, так как предположили, что для каждой тройки сторон можно выбрать точку О, исключающую пересечение перпендикуляров с продолжениями сторон.
Значит, наше предположение было неверным, и такую точку О можно выбрать для всех сторон многоугольника одновременно.