Дана треугольная пирамида с вершинами в точках A(2; -1; 2), B(2; 1; 3), C(1; 0; 1) и D(6; 4; 5). Найти уравнение какой-нибудь плоскости, проходящей через точку D и делящей объем пирамиды на две равных части.

Шаги решения:
1. Найдем векторы AB, AC и AD. Для этого вычтем координаты начальной точки из координат конечной точки каждого вектора. Получим:
AB = (0, 2, 1)
AC = (-1, 1, -1)
AD = (4, 5, 3)

2. Найдем векторное произведение AB и AC. Для этого найдем определитель следующей матрицы:

| i j k |
| 0 2 1 |
|-1 1 -1 |

Вычисляем и получаем:
AB x AC = (-1, -1, -2)

3. Подставим координаты точки D в уравнение плоскости, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D. Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. Подставим значения из точки D и векторного произведения AB x AC в уравнение и получим:
-1 * 6 + (-1) * 4 + (-2) * 5 + D = 0
-6 – 4 – 10 + D = 0
-20 + D = 0
D = 20

4. Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку D, имеет вид:
-x – y – 2z + 20 = 0