Для решения этой задачи мы будем применять арифметические операции над матрицами.
а) Для нахождения суммы двух матриц А и В, нужно сложить соответствующие элементы матриц:
А + В = |3+(-1) 1+0 2+2| = |2 1 4|
|1+2 2+1 1+1| |3 3 2|
|1-0 2-1 1+7| |1 1 8|
б) Для нахождения разности двух матриц А и В, нужно вычесть соответствующие элементы матриц:
В – А = |-1-3 0-1 2-2| = |-4 -1 0|
|2-1 1-2 1-1| |1 -1 0|
|3-1 7-2 1-8| |2 5 -7|
в) Для нахождения суммы 4А и 5В, нужно умножить каждый элемент матрицы на заданное число:
4А + 5В = 4*|3 1 2| + 5*|-1 0 2| = |12 4 8| + |-5 0 10| = |12-5 4+0 8+10| = |7 4 18|
|1 2 1| |2 1 1| |1*5 2*5 1*5| |5 10 5|
|0 -1 2| |3 7 1| |0 -5 10| |0 -5 10|
г) Для нахождения произведения матриц А и В, нужно умножить каждый элемент строки первой матрицы на каждый элемент столбца второй матрицы, а затем сложить полученные произведения:
AB = |3*(-1)+1*2+2*3 3*0+1*1+2*7 3*2+1*1+2*1| = |-1+2+6 0+1+14 6+1+2| = |7 15 9|
|1*(-1)+2*3+1*3 1*0+2*1+1*7 1*2+2*1+1*1| |-1+6+3 0+2+7 2+2+1| |8 9 5|
|0*(-1)+(-1)*3+2*3 0*0+(-1)*1+2*7 0*2+(-1)*1+2*1| |0-3+6 0-1+14 0-1+2| |3 13 1|
д) Для нахождения произведения матриц В и А, нужно аналогично умножить каждый элемент строки второй матрицы на каждый элемент столбца первой матрицы, а затем сложить полученные произведения:
BA = |-1*3+0*1+2*1 -1*1+0*2+2*2 -1*2+0*1+2*1| = |-3+0+2 -1+0+4 -2+0+2| = |-1 3 0|
|3*3+7*1+1*1 3*1+7*2+1*2 3*2+7*1+1*1| |9+7+1 3+14+2 6+7+1| |17 19 14|
е) Для нахождения обратной матрицы к матрице А (А^-1), нужно найти такую матрицу, при умножении которой на А даст единичную матрицу:
А^-1 = (1 / определитель А) * алгебраическое дополнение для каждого элемента
det A = 3 * (0 * 2 – 2 * (-1)) – 1 * (1 * 2 – 2 * 1) + 2 * (1 * (-1) – 0 * 3) = 12
|3 1 2|^-1 = (1 / 12) * |(1 * 1 – 2 * 2) -(3 * 1 – 2 * 2) (3 * 2 – 1 * 1) | = (1 / 12) * |-3 -1 5| = | -1/4 -1/12 5/12|
|(0 * 1 – 2 * 2) -(3 * 0 – 2 * 2) (3 * 2 – 0 * 1) | |-4 4/2 6 6 | | -1/3 2/3 1/3|
|(0 * 1 – 0 * 1) -(3 * 0 – 0 * 2) (3 * 1 – 0 * 1) | |0 -0 3 0 3| | 0 0 1|
ж) 1 * A^-1 = |1*(-1/4) 1*(-1/12) 1*(5/12)| = |-1/4 -1/12 5/12|
|1*(-1/4) 1*(2/3)(6/9)| |-1/4 2/3 1/3|
|1* 0 1*0 1*1 | | 0 0 1|
з) 1 * A * A^-1 = А^-1
|3 1 2| * |-1/4 -1/12 5/12| = |-1/4 -1/12 5/12|
|1 2 1| |-1/4 2/3 1/3 | | -1/4 2/3 1/3|
|0 -1 2| | 0 0 1 | | 0 0 1|