Длина ребра AB можно найти используя формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
AB = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)
= √((2 – 5)^2 + (5 – 2)^2 + (0 – 0)^2)
= √((-3)^2 + 3^2)
= √(9 + 9)
= √18
= 3√2
Длина медианы BM основания ABC можно найти как половину от длины ребра AB, потому что BM – это медиана, которая делит сторону AB пополам:
BM = 1/2 * AB
= 1/2 * 3√2
= (3/2)√2
Угол между ребрами AB и AD можно найти используя скалярное произведение векторов AB и AD:
cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|)
= ((2-5)(-1-5) + (5-2)(1-2) + (0-0)(1-2)) / (√18 * √((-3)^2 + 3^2 + 1^2))
= (-3*-6 + 3*-1 + 0*-1) / (3√2 * √19)
= 27 / (3√2 * √19)
= 3 / (√2 * √19)
= (3√19) / 38
Площадь основания ABC можно найти используя формулу для площади треугольника, образованного тремя точками в трехмерном пространстве:
S = 1/2 * |AB x AC|
= 1/2 * |(2-5)(4-0) – (0-0)(1-2), (0-0)(1-2) – (1-2)(2-5), (1-2)(5-2) – (2-5)(2-5)|
= 1/2 * |-3*4, -1*(-1), -1*(5-2) – (-3)*(1-2)|
= 1/2 * |-12, 1, -1 + 3|
= 1/2 * |-12, 1, 2|
= 1/2 * (|-12| + |1| + |2|)
= 1/2 * (12 + 1 + 2)
= 7
Объем пирамиды ABCD можно найти используя формулу для объема пирамиды, образованной четырьмя точками в трехмерном пространстве:
V = 1/6 * |AB · AC x AD|
= 1/6 * |(2-5)((1-2)(1-1) – (2-5)(-1-1)) – (5-2)((1-2)(0-1) – (2-5)(-1-1)), (0-0)((1-2)(0-1) – (2-5)(-1-1)) – (1-2)((1-2)(0-1) – (2-5)(1-1)), (0-0)((2-5)(1-1) – (1-2)(0-1)) – (1-2)((2-5)(0-1) – (0-0)(1-1))|
= 1/6 * |-3*(-4) – 3*(-4), 3*(-1) – 3*(-2), -3 – 2|
= 1/6 * |12 + 12, -3 + 6, -3 – 2|
= 1/6 * |24, 3, -5|
= 1/6 * (|24| + |3| + |-5|)
= 1/6 * (24 + 3 + 5)
= 32/3
Итак, получаем следующие результаты:
Длина ребра AB = 3√2
Длина медианы BM основания ABC = (3/2)√2
Угол между ребрами AB и AD = (3√19) / 38
Площадь основания ABC = 7
Объем пирамиды ABCD = 32/3