а) 1-й способ:
Построим график треугольника АВС на декартовой плоскости. Запишем координаты вершин треугольника: A(-2; 4), B(3; 1), C(10; 7). Для написания уравнения стороны АВ воспользуемся формулой: y = kx + b, где k – угловой коэффициент, b – свободный член. Подставим координаты точек А и В в эту формулу и найдем уравнение прямой:
A(-2; 4): 4 = k * (-2) + b => -2k + b = 4
B(3; 1): 1 = k * 3 + b => 3k + b = 1
Теперь решим эту систему линейных уравнений методом подстановки или методом Крамера и найдем значения k и b.
2-й способ:
Найдем угловой коэффициент (tg α) стороны по формуле: k = (y2 – y1) / (x2 – x1), где (x1, y1), (x2, y2) – координаты вершин А и В.
A(-2; 4), B(3; 1): k = (1 – 4) / (3 – (-2)) = -3 / 5.
Теперь возьмем любую вершину, например, А(-2; 4), и подставим значения k и координаты этой вершины в формулу: y – y1 = k * (x – x1).
А(-2; 4): y – 4 = (-3 / 5) * (x – (-2)).
Упростим и приведем уравнение к виду: 5y – 20 = -3x + 6.
б) Уравнение медианы, проведенной из вершины А, можно найти с помощью формулы: x = (x1 + x2 + x3) / 3, y = (y1 + y2 + y3) / 3, где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) – координаты вершин треугольника.
А(-2; 4), B(3; 1), C(10; 7): x = (-2 + 3 + 10) / 3 = 11 / 3, y = (4 + 1 + 7) / 3 = 4.
Таким образом, точка пересечения медиан равна (11/3; 4).
в) Расстояние от точки С до прямой АВ можно найти с помощью формулы: d = | Ax + By + C | / √(A^2 + B^2), где A, B, C – коэффициенты уравнения прямой АВ, Ax + By + C = 0.
Уравнение прямой АВ получено в пункте а) упрощенным видом: 5y – 20 = -3x + 6.
Перепишем уравнение в общем виде: 3x + 5y -26 = 0.
Подставим координаты точки С(10; 7) и коэффициенты уравнения в формулу и найдем расстояние d.
г) Уравнение прямой АВ можно представить в виде “уравнение прямой в отрезках” вида: x/a + y/b – 1 = 0, где a и b – длины отрезков, на которые прямая делит оси координат. Найдем a и b, подставив координаты вершин треугольника АВС в формулу: a = | x2 – x1 |, b = | y2 – y1 |.
А(-2; 4), B(3; 1): a = | 3 – (-2) | = 5, b = | 1 – 4 | = 3.
Таким образом, уравнение прямой АВ в отрезках: x/5 + y/3 – 1 = 0.
Теперь найдем его угловые коэффициенты и нормальное уравнение.
Угловой коэффициент можно найти по формуле: k = -a/b, где a и b – длины отрезков, на которые прямая делит оси координат.
a = 5, b = 3: k = -5/3.
Теперь найдем свободный член (b) уравнения прямой АВ. Для этого подставим координаты любой вершины, например, А(-2; 4), в уравнение x/a + y/b = 1 и найдем значение b: (-2)/5 + 4/b = 1.
Упростим и решим уравнение: -2b + 20 = 5b => 7b = 20 => b = 20/7.
Таким образом, уравнение прямой АВ с угловыми коэффициентами: y = (-5/3)x + 20/7.
Нормальное уравнение прямой можно найти по формуле: Ax + By + C = 0, где A, B, C – коэффициенты уравнения прямой с угловыми коэффициентами.
A = -5/3, B = 1, C = 20/7.
Таким образом, нормальное уравнение прямой АВ: (-5/3)x + y + (20/7) = 0.
