Для решения задачи сначала посчитаем математическое ожидание случайной величины X, используя формулу:
E(X) = Σ(xi * P(X=xi))
где xi – значения случайной величины, P(X=xi) – вероятность получения значения xi.
E(X) = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3)
Заметим, что вероятность P(X=3) равняется 0.5, а вероятность P(X=1) и P(X=2) обозначены как p и p2 соответственно.
E(X) = 1 * p + 2 * p^2 + 3 * 0.5
E(X) = p + 2p^2 + 1.5
Далее, для того, чтобы найти дисперсию случайной величины X, воспользуемся формулой:
D(X) = E(X^2) – (E(X))^2
где E(X^2) – математическое ожидание квадрата случайной величины X.
Для нахождения E(X^2) вычислим:
E(X^2) = Σ(xi^2 * P(X=xi))
E(X^2) = 1^2 * p + 2^2 * p^2 + 3^2 * 0.5
E(X^2) = p + 4p^2 + 4.5
Теперь можем вычислить дисперсию:
D(X) = E(X^2) – (E(X))^2
D(X) = p + 4p^2 + 4.5 – (p + 2p^2 + 1.5)^2
D(X) = p + 4p^2 + 4.5 – (p^2 + 4p^3 + 3p^2 + 4p + 2p^2 + 3)
D(X) = p + 4p^2 + 4.5 – p^2 – 4p^3 – 3p^2 – 4p – 2p^2 – 3
D(X) = -4p^3 + (4p^2 – 6p^2 – 4p) + (p – 3)
D(X) = -4p^3 – 2p^2 – 3p + (p – 3)
D(X) = -4p^3 – 2p^2 – 2p – 3
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна -4p^3 – 2p^2 – 2p – 3.