‘(x)}{(h(x))^2}. Применяя это правило к нашей функции, получим: y’ = frac{(18x^2 + 16x – 2)(15sqrt{1+x}) – (6x^3 + 8x^2 – 2x – 4)(15sqrt{1+x})’}{(15sqrt{1+x})^2} Теперь продифференцируем знаменатель функции, воспользовавшись правилом дифференцирования функции вида sqrt{x}: (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} Применяем это правило к нашему знаменателю и получаем: (15sqrt{1+x})’ = frac{15}{2sqrt{1+x}} Теперь подставляем полученные значения в исходную производную: y’ = frac{(18x^2 + 16x – 2)(15sqrt{1+x}) – (6x^3 + 8x^2 – 2x – 4)(frac{15}{2sqrt{1+x}})}{(15sqrt{1+x})^2} y’ = frac{(18x^2 + 16x – 2)(15sqrt{1+x}) – (6x^3 + 8x^2 – 2x – 4)(frac{15}{2sqrt{1+x}})}{225(1+x)} Упростим выражение, раскрыв скобки и сложив подобные члены: y’ = frac{270x^2 + 240x – 30 – 45x^3 – 60x^2 + 15x + 30}{225(1+x)} y’ = frac{-45x^3 + 210x^2 + 255x}{225(1+x)} y’ = frac{-x^2 + 14x + 17}{5(1+x)} Таким образом, производная данной функции равна y’ = frac{-x^2 + 14x + 17}{5(1+x)} Чтобы найти экстремумы функции, решим уравнение y’ = 0: frac{-x^2 + 14x + 17}{5(1+x)} = 0 Умножим обе стороны уравнения на 5(1+x), чтобы избавиться от знаменателя: -x^2 + 14x + 17 = 0 Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: x^2 – 14x – 17 = 0 Как видим, данное уравнение является квадратным. Решим его с помощью квадратного тринома. Получим: x = frac{-(-14) +- sqrt{(-14)^2 – 4(1)(-17)}}{2(1)} x = frac{14 +- sqrt{196 + 68}}{2} x = frac{14 +- sqrt{264}}{2} Раскроем подкоренное выражение: sqrt{264} = sqrt{4*66} = 2sqrt{66} Подставим это значение в выражение для x: x = frac{14 +- 2sqrt{66}}{2} x = 7 +- sqrt{66} Таким образом, найдены два значения x, которые являются экстремумами функции. Чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами, можно построить график функции или проанализировать вторую производную. Если вторая производная положительна в точке экстремума, то эта точка является минимумом, если отрицательна – максимумом.
