Если все элементы 3 строки определителя 4 порядка умножить на 12, а затем элементы 4 столбца полученного определителя разделить на 3 то получим определитель

Пусть дан определитель 4×4:

det = |a b c d|
|e f g h|
|i j k l|
|m n o p|

Шаг 1: Умножаем все элементы строки 3 на 12:

|a b c d|
|e f g h|
|12i 12j 12k 12l|
|m n o p|

Шаг 2: Делим элементы столбца 4 на 3:

|a b c d|
|e f g h|
|4i 4j 4k (12l / 3)|
|m n o (p / 3)|

Обозначим новый элемент в последнем столбце как x:

|a b c d|
|e f g h|
|4i 4j 4k x|
|m n o (p / 3)|

Шаг 3: Найдем определитель полученной матрицы:

det’ = |a b c d|
|e f g h|
|4i 4j 4k x|
|m n o (p / 3)|

det’ = x * det(3×3) – (p/3) * det(3×3)

где det(3×3) – это определитель 3×3 матрицы без последней строки и последнего столбца:

|a b c|
|e f g|
|4i 4j 4k|

Шаг 4: Упростим выражение:

det’ = x * det(3×3) – (p/3) * det(3×3)
= x * (4i * f * 4k + 4j * 4g * a + 4i * 4e * b – 4j * f * 4c – 4i * 4g * b – 4k * 4e * a)
– (p/3) * (4i * f * 4k + 4j * 4g * a + 4i * 4e * b – 4j * f * 4c – 4i * 4g * b – 4k * 4e * a)

det’ = x * (4i * f * 4k + 4j * 4g * a + 4i * 4e * b – 4j * f * 4c – 4i * 4g * b – 4k * 4e * a)
– (p/3) * (4ifk + 4jga + 4ieb – 4jfc – 4igb – 4kea)

Шаг 5: Заменяем x на (12l/3):

det’ = (12l/3) * (4i * f * 4k + 4j * 4g * a + 4i * 4e * b – 4j * f * 4c – 4i * 4g * b – 4k * 4e * a)
– (p/3) * (4ifk + 4jga + 4ieb – 4jfc – 4igb – 4kea)

Шаг 6: Мы хотим, чтобы полученный определитель равнялся исходному определителю, поэтому det = det’:

det = (12l/3) * (4i * f * 4k + 4j * 4g * a + 4i * 4e * b – 4j * f * 4c – 4i * 4g * b – 4k * 4e * a)
– (p/3) * (4ifk + 4jga + 4ieb – 4jfc – 4igb – 4kea)

Это и есть решение задачи. Определитель исходной матрицы равен выражению в правой части последнего выражения.