Функция определена на целых числах и принимает целые значения. Известно, что для любых и выполняется равенство ( ) + ( ) = ( + 1) + ( − 1). Чему равно (1), если (2024) = 4202 и (4202) = 2024? Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001.

Для решения задачи, давайте заметим, что у нас есть равенство, в котором присутствуют только значения функции. Давайте его рассмотрим:

f(1) + f(2024) = f(2) + f(2023)

В данном равенстве мы смешали значения 1, 2 и 2023, 2024, чтобы применить утверждение о свойствах функции:

f(x) + f(y) = f(x+1) + f(y-1)

Сравнивая это равенство с нашим, мы видим, что x = 1, y = 2024:

f(1) + f(2024) = f(2) + f(2023)

Заменяем значения:

f(1) + 4202 = f(2) + f(2023)

Теперь мы можем заменить f(2023) на другое выражение, используя данное свойство второй раз:

f(2023) + f(4201) = f(2024) + f(4200)

Подставляем известные значения:

f(2023) + 2024 = 4202 + f(4200)

Функция f(4200) нам не известна, но мы можем преобразовать это выражение для нахождения f(1):

f(1) = f(2023) + 2024 – 4202 + f(4200)

Теперь для нахождения значения функции f(1), нам необходимо выразить f(2023) и f(4200) через известные значения:

Используем свойство функции для f(2024) = 4202 и f(4202) = 2024:

f(2024) + f(2022) = f(2025) + f(2021)

Подставляем известные значения:

4202 + f(2022) = f(2025) + f(2021)

Используем свойство функции для f(2025) = f(2024) + 1 и f(2021) = f(2022) – 1:

4202 + f(2022) = (4202 + 1) + (f(2022) – 1)

Сокращаем выражение:

4202 + f(2022) = 4203 + f(2022)

Теперь мы видим, что f(2022) исчезает из равенства, поэтому получаем:

4202 + 0 = 4203 + 0

Это верное равенство, которое говорит нам, что f(2022) может быть любым числом, так как оно сокращается.

Теперь определяем f(4200):

f(4202) + f(4198) = f(4203) + f(4197)

Подставляем известные значения:

2024 + f(4198) = f(4203) + f(4197)

Используем свойство функции для f(4203) = f(4202) + 1 и f(4197) = f(4198) – 1:

2024 + f(4198) = (2024 + 1) + (f(4198) – 1)

Сокращаем выражение:

2024 + f(4198) = 2025 + f(4198)

Также получаем верное равенство:

2024 + 0 = 2025 + 0

Теперь мы видим, что f(4198) исчезает из равенства, поэтому получаем:

2024 = 2025

Это неверное равенство, что означает, что полученные ранее значения для f(2022) и f(4200) недопустимы.

Таким образом, решение задачи не существует, и невозможно определить конкретное значение для f(1).