Грибник находится в 3 км от дороги и 10 км от автомобиля. Скорость движения по лесу составляет 2 км/ч, а по дороге 5 км/ч. Если грибник идет часть пути до дороги через лес по прямой, а оставшуюся часть по дороге, то на каком расстоянии от автомобиля ему следует выйти на дорогу, чтобы время пути было наименьшим?

Расстояние, которое грибнику нужно пройти до дороги через лес, можно обозначить как “х”, а расстояние по дороге – как “3 – х”.

Время, затраченное на пройденное расстояние через лес, равно “х / 2” часа.
Время, затраченное на пройденное расстояние по дороге, равно “(3 – х) / 5” часа.

Общее время, затраченное на путь до дороги и по дороге, равно сумме этих времен:
T(х) = х/2 + (3 – х)/5.

Чтобы найти минимальное время пути, нужно найти экстремум функции T(х), а именно – минимум.

Для этого возьмем производную функции T(х) и приравняем ее к нулю:
T'(х) = 1/2 – 1/5 = 0.

Решив уравнение, получим х = 1.2.

Таким образом, чтобы время пути было наименьшим, грибнику следует выйти на дорогу на расстоянии 1.2 км от автомобиля.