Имеется 512 кучек камней, количество камней в кучках попарно различно и в каждой из них не более 2023 камней. Обязательно ли найдутся две кучки, в которых разность между количествами камней кратна 7 и не превосходит 25?

Обозначим за x_i количество камней в i-й кучке. Из условия известно, что 1 <= x_i <= 2023 для всех i. Обратим внимание, что разность между количествами камней в двух кучках будет кратна 7, если и только если сами количества камней в них будут иметь одинаковый остаток от деления на 7. Также эта разность не превосходит 25. Это означает, что нам нужно распределить 512 кучек между остатками от деления на 7 таким образом, чтобы разность между количествами камней для каждой пары кучек с одинаковыми остатками не превосходила 25. Если мы выберем 7 кучек, то по принципу Дирихле (более известному как Лемма о карманах) как минимум в двух из них будет одинаковое количество камней. Давайте сделаем следующий вывод: если взять 7*25=175 кучек, обязательно найдутся две кучи, в которых количество камней отличается максимум на 25 и сравнимы по остатку от деления на 7. Теперь предположим обратное. Предположим, что мы можем взять 8 кучек так, чтобы разность между количеством камней в них не превосходила 25 и была кратна 7. Тогда существует две кучки с одинаковыми остатками от деления на 7 такими, что их разность будет кратна 7. Но это невозможно, поскольку разность в этом случае должна быть больше 25. Таким образом, в рассматриваемой выборке из 8 кучек обязательно найдутся две кучки, в которых разность между количествами камней кратна 7 и не превосходит 25. Ответ: Да, обязательно найдутся две кучки, удовлетворяющие данному условию.