Имеется 512 кучек камней, количество камней в кучках попарно различно и в каждой из них не более 2023 камней. Обязательно ли найдутся две кучки, в которых разность между количествами камней кратна 7 и не превосходит 25. Реши с помощью прогрессии

Чтобы определить, возможно ли найти две кучки, в которых разность между количествами камней кратна 7 и не превышает 25, воспользуемся принципом Дирихле.

Рассмотрим остатки от деления количества камней в каждой кучке на 7. Возможны 7 различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разобьем все 512 кучек на эти 7 остатков.

По принципу Дирихле, если разделить 512 на 7, получим 73 целых и остаток 1. Это означает, что хотя бы в одной из остаточных групп будет не менее 74 кучек.

Допустим, мы рассматриваем кучки с остатком 0 и остатком 1. Если сумма количества камней в двух таких кучках по модулю 7 будет равна 0, 1 или 2, то разность между этими кучками также будет равна одному из этих трех остатков.

Разберем все возможные случаи:

1. Кучки с остатком 0: максимальное количество камней – 2023, минимальное – 0. Разность может быть в интервале от 0 до 2023.

2. Кучки с остатком 1: максимальное количество камней – 2022, минимальное – 1. Разность может быть в интервале от 1 до 2021.

Таким образом, сумма возможных разностей для кучек с остатками 0 и 1 будет в интервале от 1 до 4044.

Так как 4044 больше, чем 25, следовательно, обязательно найдутся две кучки, в которых разность между количествами камней кратна 7 и не превосходит 25.

Прогрессию использовать необязательно, так как задачу можно решить аналитическим методом, применяя принцип Дирихле.