Имеется И лампочек, каждая из них с вероятностью р имеет дефект. Лампочку ввинчивают в патрон и подают напряжение, после чего дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Случайная величина X – число лампочек, которое будет испробовано. Построить ряд распределения случайной величины Х и ее функцию распределения F (x), найти ее математическое ожидание т, дисперсию D, и вероятность того, что испробовано будет не более к лампочек. n=5, p=0,2, k=4

Дано: n = 5 (количество лампочек), p = 0,2 (вероятность дефекта лампочки), k = 4 (испробовано будут не более k лампочек).

1. Построение ряда распределения случайной величины X:
X – число лампочек, которые будут испробованы.

Задачу можно решить с помощью биномиального распределения. Вероятность испытания успеха (дефектной лампочки) p = 0,2, вероятность неудачи (рабочей лампочки) q = 1 – p = 0,8.

Ряд распределения будет выглядеть следующим образом:

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
–|—|—|—|—|—|—|
P | | | | | | |

2. Построение функции распределения F(x):
Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньше или равное x.

F(x) = P(X ≤ x)

Для данной задачи F(x) будет иметь вид:

F(x) = P(X ≤ x) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = x)

Находим значения вероятностей для каждого значения x:

F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0)
F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
F(5) = P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Заполняем значения в таблице:

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
–|——|——|——|——|——|——|
P | p^0 | p^1 | p^2 | p^3 | p^4 | p^5 |
F | p^0 | p^0 + p^1 | p^0 + p^1 + p^2 | p^0 + p^1 + p^2 + p^3 | p^0 + p^1 + p^2 + p^3 + p^4 | p^0 + p^1 + p^2 + p^3 + p^4 + p^5 |

3. Находим математическое ожидание и дисперсию:
Математическое ожидание (среднее значение) E(X) и дисперсия D(X) для биномиального распределения с параметром p вычисляются по следующим формулам:

E(X) = n * p
D(X) = n * p * q

Подставляем значения:

E(X) = 5 * 0,2 = 1
D(X) = 5 * 0,2 * 0,8 = 0,8

4. Находим вероятность того, что испробовано будет не более k лампочек:
P(X ≤ k) = F(k)

В данном случае, для k = 4, P(X ≤ 4) = F(4) = p^0 + p^1 + p^2 + p^3 + p^4

Подставляем значения:

P(X ≤ 4) = 0,2^0 + 0,2^1 + 0,2^2 + 0,2^3 + 0,2^4 = 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 = 1,248

Ответ:
– Ряд распределения случайной величины X:

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
–|——|——|——|——|——|——|
P | p^0 | p^1 | p^2 | p^3 | p^4 | p^5 |

– Функция распределения F(x):

F(0) = p^0
F(1) = p^0 + p^1
F(2) = p^0 + p^1 + p^2
F(3) = p^0 + p^1 + p^2 + p^3
F(4) = p^0 + p^1 + p^2 + p^3 + p^4
F(5) = p^0 + p^1 + p^2 + p^3 + p^4 + p^5

– Математическое ожидание E(X) = 1
– Дисперсия D(X) = 0,8
– Вероятность того, что испробовано будет не более 4 лампочек P(X ≤ 4) = 1,248