Дана двойная интегральная функция ∬(9x^2y^2 + 48x^3y^3) dxdy.
Чтобы решить эту задачу, следует выполнить следующие шаги:
1. Разложить функцию на множители:
9x^2y^2 + 48x^3y^3 = 3^2 * x^2 * (y^2 + 16x * y^3).
2. Разделить функцию на две интегральные функции:
F(x) = 3x^2, G(y) = y^2 + 16x * y^3.
3. Интегрировать по переменной x:
∫(F(x) * G(y)) dx = ∫(3x^2 * (y^2 + 16x * y^3)) dx.
Используя формулу для интегрирования произведения функций, получаем:
∫(3x^2 * (y^2 + 16x * y^3)) dx = ∫(3x^2 * y^2) dx + ∫(48x^3 * y^3) dx.
Интегрируя каждое слагаемое по x, получаем:
∫(3x^2 * y^2) dx = y^2 * ∫(3x^2) dx = y^2 * x^3 + C1,
∫(48x^3 * y^3) dx = 12x^4 * y^3 + C2.
Где C1 и C2 – постоянные интегрирования.
4. Подставить значения интегралов в исходную функцию:
F(x) * G(y) = (y^2 * x^3 + C1) + (12x^4 * y^3 + C2).
5. Интегрировать полученное выражение по y:
∫[(y^2 * x^3 + C1) + (12x^4 * y^3 + C2)] dy.
Интегрируя каждое слагаемое по y, получаем:
∫(y^2 * x^3) dy + ∫(12x^4 * y^3) dy = x^3 * (1/3)y^3 + C3 + 12x^4 * (1/4)y^4 + C4.
Где C3 и C4 – постоянные интегрирования.
6. Объединить все полученные интегралы:
∫(9x^2y^2 + 48x^3y^3) dxdy = x^3 * (1/3)y^3 + C3 + 12x^4 * (1/4)y^4 + C4.
Таким образом, двойной интеграл от функции (9x^2y^2 + 48x^3y^3) dxdy равен x^3 * (1/3)y^3 + C3 + 12x^4 * (1/4)y^4 + C4, где C3 и C4 – постоянные интегрирования.