Функция y = x * ln(x) является произведением двух функций: x и ln(x). Обе функции определены и непрерывны на интервале (0, +∞), поэтому для изучения непрерывности исследуем функцию на особые точки.
1. Найдем точки, где функция не определена:
– Функция ln(x) не определена при x ≤ 0, так как логарифм от отрицательного числа или нуля не существует. Однако, умножение на x компенсирует это и делает функцию определенной для положительных значений x.
– Функция x непрерывна и определена для всех действительных чисел.
2. Исследуем точки, где функция может быть непрерывной или разрывной:
– Рассмотрим точку x = 0. Подставив это значение в выражение y = x * ln(x), получим y = 0 * ln(0) = 0 * (-∞). Это неопределенное выражение, так как произведение нуля на бесконечность не имеет однозначного значения. Функция разрывна при x = 0.
3. Исследуем функцию на асимптоты и пределы:
– Горизонтальная асимптота: при x -> +∞, ln(x) увеличивается медленнее, чем x, поэтому предел функции y = x * ln(x) при x -> +∞ равен +∞.
– Вертикальная асимптота: функция не имеет вертикальных асимптот, так как ln(x) ограничена для всех положительных значений x.
– Поведение функции вблизи x = 0: при x -> 0 логарифм ln(x) стремится к -∞, поэтому предел функции y = x * ln(x) при x -> 0 равен 0.
Таким образом, функция y = x * ln(x) непрерывна на интервале (0, +∞), за исключением точки x = 0, где она имеет разрыв. Функция имеет горизонтальную асимптоту при x -> +∞ и предел 0 при x -> 0.