Полученный числовой ряд имеет вид:
1/3^0 + 2/3^1 + 3/3^2 + 4/3^3 + …
Для исследования сходимости данного ряда, воспользуемся признаком Даламбера.
Шаги решения:
1. Рассмотрим отношение двух последовательных членов ряда:
a_(n+1)/a_n = (n+2)! / 3^(n+1) * 3^n / n! = (n+2) / 3
2. Вычислим предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности:
lim(n->∞) (n+2) / 3 = ∞
3. Если предел этого отношения больше 1, то ряд расходится. Если предел меньше 1, то ряд сходится. Если предел равен 1, то признак Даламбера не дает определенного результата и необходимо использовать другие признаки сходимости.
В нашем случае, полученный предел больше 1 (равен бесконечности), значит ряд расходится.
Таким образом, исследуемый числовой ряд с положительными членами расходится.