Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики , найти ее интервалы возрастания и убывания и точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции y=x³-12x²+45x-47

Задана функция y=x³-12x²+45x-47. Для исследования данной функции на экстремумы, интревалы возрастания и убывания, точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости, выполняются следующие шаги:

1. Найдем производные функции:
dy/dx = 3x² – 24x + 45 (первая производная)
d²y/dx² = 6x – 24 (вторая производная)

2. Решим уравнение dy/dx = 0, чтобы найти точки экстремума:
3x² – 24x + 45 = 0
Решением данного уравнения являются значения x1 = 3 и x2 = 5.

3. Определим знаки производной dy/dx для интервалов между точками экстремума и за их пределами:
Подставим значения x < x1, между x1 и x2, и x > x2 в уравнение dy/dx и определим знак производной на этих интервалах.

– При x < 3: dy/dx = 3x² - 24x + 45 < 0 (по счету проверки значения) - Между 3 и 5: dy/dx = 3x² - 24x + 45 > 0 (по счету проверки значения)
– При x > 5: dy/dx = 3x² – 24x + 45 < 0 (по счету проверки значения) 4. Определим знаки второй производной d²y/dx² для точек экстремума и на интервалах: - Подставим значения x1 = 3 и x2 = 5 в уравнение d²y/dx² и определим знаки: - При x = 3: d²y/dx² = 6x - 24 = 6*3 - 24 = -6 < 0 (точка экстремума x = 3 имеет максимум) - При x = 5: d²y/dx² = 6x - 24 = 6*5 - 24 = 6 > 0 (точка экстремума x = 5 имеет минимум)

5. Построим график функции:
Составим таблицу значений функции y=x³-12x²+45x-47 для различных значений x и построим график на координатной плоскости.

6. Из графика определим интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости, и точки перегиба:
– Интервалы возрастания: от минус бесконечности до x = 3 и от x = 5 до плюс бесконечности.
– Интервалы убывания: от x = 3 до x = 5.
– Точка экстремума с максимумом: x = 3, y = x³-12x²+45x-47.
– Точка экстремума с минимумом: x = 5, y = x³-12x²+45x-47.
– Точка перегиба: необходимо решить уравнение d²y/dx² = 0.

Таким образом, мы исследовали функцию y=x³-12x²+45x-47 на экстремумы, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Зная эти характеристики, мы также построили график функции.