Дана функция y = x^3 – 3x^2 – x + 3. Нам нужно исследовать ее и построить график.
1. Найдем производную функции, чтобы найти точки экстремума и точки перегиба:
y’ = 3x^2 – 6x – 1.
2. Найдем корни производной, чтобы найти точки экстремума:
3x^2 – 6x – 1 = 0.
Можно решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:
D = (-6)^2 – 4 * 3 * (-1) = 36 + 12 = 48.
Таким образом, у нас есть два корня:
x1 = (6 + √48) / 6 ≈ 2.37,
x2 = (6 – √48) / 6 ≈ 0.63.
3. Подставим найденные корни в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
y1 ≈ 0.15,
y2 ≈ 3.85.
4. Теперь найдем вторую производную и проверим ее знаки, чтобы найти точки перегиба:
y” = 6x – 6.
Подставим 0 в уравнение, чтобы выяснить, где y” меняет знак:
6x – 6 = 0,
x = 1.
Таким образом, точка перегиба находится в (1, y), где y – значение исходной функции при x = 1.
5. Построим таблицу значений функции, используя найденные точки и другие значения x:
| x | y |
|——-|——–|
| -∞ | -∞ |
| 0.63 | 3.85 |
| 1 | ? |
| 2.37 | 0.15 |
| +∞ | +∞ |
6. Построим график, отметив на нем найденные точки и используя таблицу значений:
График будет иметь вид параболы, открывающейся вниз и проходящей через точки экстремума и перегиба.
При x = 0 корень уравнения равен 3, а при x = 1 значение функции будет равно 4.
Вот и все. Мы исследовали функцию и построили ее график.