Для исследования функции на непрерывность и построения графика необходимо выполнить следующие шаги:
1. Рассмотреть заданную функцию и определить, в какой области она определена. Область определения функции – множество значений аргумента, для которых функция имеет смысл. Например, если функция определена для всех вещественных чисел, то ее область определения будет равна всему множеству действительных чисел.
2. Исследовать функцию на разрывы. Разрывы могут быть двух типов: разрывы первого рода (точки, в которых функция не определена) и разрывы второго рода (прыжки и разрывы асимптот).
3. Найти точки, в которых функция может иметь точки разрыва первого рода. Для этого рассмотреть значения аргумента, при которых функция может стать неопределенной, например, деление на ноль.
4. Исследовать функцию на точки разрыва второго рода. Проверить, существуют ли вертикальные асимптоты (точки, где функция стремится к бесконечности или отрицательной бесконечности), горизонтальные асимптоты (точки, где функция стремится к определенным значениям при стремлении аргумента к бесконечности) и наклонные асимптоты (прямые, к которым стремится график функции при стремлении аргумента к бесконечности).
5. Определить, является ли функция непрерывной. Функция непрерывна, если она определена на всей своей области определения и не имеет разрывов.
6. Построить график функции, используя все полученные ранее данные. Нарисовать оси координат и отметить на них точки разрыва первого и второго рода, а также асимптоты, если они есть. Затем построить график функции и провести его через эти точки и асимптоты. Учесть форму графика, его выпуклость или вогнутость, а также значения функции в критических точках, таких как максимумы и минимумы.
7. Проверить полученный график на соответствие всем исследованным ранее свойствам функции. Убедиться, что график не имеет разрывов вне точек разрыва первого и второго рода, что он совпадает с асимптотами и что изменение графика соответствует изменению значения функции.