Дана функция y = 1/x^2 + 2/x. Нужно исследовать ее средствами дифференциального исчисления и построить график.
Шаги решения:
1. Найдем область определения функции. В данном случае, функция определена для всех значений x, кроме x = 0.
2. Найдем производную функции y по x. Для этого применим правила дифференцирования. Получим y’ = -2/x^3 – 2/x^2.
3. Найдем точки экстремума, приравнивая производную к нулю и решая уравнение -2/x^3 – 2/x^2 = 0. Получим две точки экстремума: x = -1 и x = 0.
4. Исследуем производную функции y’ на монотонность. Отметим, что функция y’ отрицательна на интервале (-∞, -1) и положительна на интервале (-1, 0). Значит, функция y убывает на (-∞, -1) и возрастает на (-1, 0).
5. Найдем пределы функции при x, стремящемся к плюс и минус бесконечности. Получим пределы: lim (x -> +∞) y = 0 и lim (x -> -∞) y = 0. То есть, график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при x -> ±∞.
6. Построим график функции y. Объединим все полученные точки и асимптоты на графике.
Таким образом, исследованная функция имеет две точки экстремума, уменьшает свое значение при увеличении x на интервале (-∞, -1), увеличивает на интервале (-1, 0) и имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при x -> ±∞.