Для исследования функции на экстремумы, нам понадобится найти ее производную и найти точки, где производная равна нулю или не существует.
Найдем производную функции y по x:
y’ = d(9x – 3x^3 + 4)/dx
= 9 – 9x^2
Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, где y’ = 0:
9 – 9x^2 = 0
Решим это уравнение:
9x^2 = 9
x^2 = 1
x = ±1
Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = -1 и x = 1.
Для определения типа экстремума в каждой из найденных точек, рассмотрим знаки второй производной. Возьмем производную от y’:
y” = d(9 – 9x^2)/dx
= -18x
Подставим x = -1:
y”(-1) = -18(-1)
= 18
Подставим x = 1:
y”(1) = -18(1)
= -18
В точке x = -1 вторая производная положительна (18 > 0), а в точке x = 1 она отрицательна (-18 < 0). Таким образом, можно сделать следующие выводы: - В точке x = -1 функция имеет локальный минимум. - В точке x = 1 функция имеет локальный максимум. Остается проверить поведение функции на бесконечностях: - Когда x стремится к бесконечности, функция y также стремится к бесконечности в положительном или отрицательном направлении. Поэтому нет никаких экстремумов на бесконечностях. Итак, после исследования функции y = 9x - 3x^3 + 4 на экстремумы, мы получаем следующие результаты: - Локальный минимум в точке (-1, y(-1)). - Локальный максимум в точке (1, y(1)). - Нет экстремумов на бесконечностях.