Для исследования функции = ^2−4 можно применить дифференциальное исчисление. Чтобы построить график функции, выполним следующие шаги:
1. Найдем производную функции по переменной . Для этого используем правило дифференцирования произведения функций:
‘ = ( ^2−4) + * (2 ).
2. Упростим полученное выражение:
‘ = ^2−4 + 2 ^2 = 3 ^2−4.
3. Найдем точки экстремумов функции, приравнивая производную к нулю:
3 ^2−4 = 0.
4. Решим полученное уравнение:
3 ^2 = 4,
^2 = 4/3,
= ±√(4/3).
5. Вычислим значения функции в найденных точках экстремумов :
Для = √(4/3): = √(4/3) * (√(4/3))^2−4 = (√(4/3))^3−4.
Для = -√(4/3): = -√(4/3) * (-√(4/3))^2−4 = -((√(4/3))^3−4).
6. Определим знак производной в интервалах между точками экстремумов и за пределами этих точек. Для этого выберем произвольные значения в этих интервалах и подставим их в производную ‘:
– Если ‘ > 0, то функция возрастает.
– Если ‘ < 0, то функция убывает.
- Если ' = 0, то функция имеет горизонтальный экстремум.
7. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого решим уравнение = 0 для .
8. Построим график функции, используя полученную информацию о точках экстремумов, знаке производной и пересечении с осями координат.
Теперь у нас есть все необходимые шаги для исследования функции = ^2−4 средствами дифференциального исчисления и для построения ее графика.