Для того чтобы найти биномиальную последовательность, соответствующую оператору дельтаратора d/dx + d^2/dx^2, мы можем использовать формулу Тейлора.
Первый шаг – найти разложение в ряд для каждого дифференциального оператора в отдельности.
Разложение в ряд для оператора d/dx:
d/dx(f(x)) = f'(x) = f(x) + f'(x)*h + f”(x)*(h^2)/2! + f”'(x)*(h^3)/3! + …
Разложение в ряд для оператора d^2/dx^2:
(d^2/dx^2)(f(x)) = f”(x) = f”(x) + f”'(x)*h + f””(x)*(h^2)/2! + f””'(x)*(h^3)/3! + …
Второй шаг – скомбинировать разложения в ряд операторов, чтобы получить разложение для оператора дельтаратора:
(d/dx + d^2/dx^2)(f(x)) = (f(x) + f'(x)*h + f”(x)*(h^2)/2! + f”'(x)*(h^3)/3! + …) +
(f”(x) + f”'(x)*h + f””(x)*(h^2)/2! + f””'(x)*(h^3)/3! + …)*h +
(f””(x) + f””'(x)*h + f”””(x)*(h^2)/2! + f”””'(x)*(h^3)/3! + …)*(h^2)/2! + …
Третий шаг – упростить полученное разложение, сгруппировав одинаковые степени h и учитывая, что (h^2)/2! = h^2/2:
(f(x) + (f'(x) + f”(x))*h + (f”(x) + f”'(x) + f””(x)/2)*h^2/2! + …) +
((f”(x) + f”'(x))*h + (f”'(x) + f””(x) + f””'(x)/2)*h^2/2! + …) * h +
((f””(x) + f””'(x))/2)*h^2/2! + …
Четвертый шаг – привести полученное разложение в виде биномиальной последовательности, сгруппировав слагаемые по степеням h:
f(x) + (f'(x) + f”(x))*h + (f”(x) + f”'(x) + f””(x)/2)*h^2/2! + … +
(f”(x) + f”'(x))*h^2/2! + (f”'(x) + f””(x) + f””'(x)/2)*h^3/3! + … * h +
(f””(x) + f””'(x))/2)*h^2/2! + …
Таким образом, биномиальная последовательность, соответствующая оператору дельтаратора d/dx + d^2/dx^2, будет иметь вид:
(1, 1, 1/2, 1/2, 1/8, 1/12, 1/48, 1/80, …)
где каждый член последовательности соответствует коэффициенту слагаемого перед соответствующей степенью h.