Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (то есть сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета.

Предположим, что такой клетки не существует. Тогда каждая клетка имеет соседние клетки разного цвета.

Рассмотрим верхнюю строку клеток. Поскольку первая клетка не имеет клетки сверху, она имеет только одну соседнюю клетку, справа от нее. Следовательно, она должна иметь другой цвет, отличный от цвета соседней клетки.

Аналогично, последняя клетка в строке имеет только одну соседнюю клетку слева от нее и должна иметь другой цвет, отличный от цвета этой клетки.

Теперь рассмотрим вторую строку клеток. Поскольку первая клетка этой строки имеет одну соседнюю клетку слева, она должна иметь другой цвет, отличный от цвета соседней клетки. Однако эта клетка также является соседней для первой клетки верхней строки, поэтому эти две клетки должны иметь одинаковый цвет – противоречие.

Таким образом, предположение о том, что такая клетка не существует, неверно. Такая клетка обязательно существует.

Шаги решения:
1. Предположить, что такая клетка не существует.
2. Рассмотреть верхнюю строку клеток и доказать, что первая и последняя клетки должны иметь разные цвета.
3. Рассмотреть вторую строку клеток и доказать, что первая клетка должна иметь другой цвет, отличный от цвета соседней клетки.
4. Сделать вывод, что предположение было неверным и такая клетка обязательно существует.