Дано неравенство: √(2+x-x^2) > -1.
Первым шагом возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:
2 + x – x^2 > (-1)^2,
2 + x – x^2 > 1.
Далее, перенесем все члены в одну сторону неравенства:
x – x^2 – 1 + 2 > 0,
-x^2 + x + 1 > 0.
Подведем итоги:
-x^2 + x + 1 > 0.
Теперь найдем корни квадратного уравнения -x^2 + x + 1 = 0:
D = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(-1)(1) = 1 + 4 = 5,
x1 = (-b + √D) / 2a = (1 + √5) / (-2) ≈ -0.6,
x2 = (-b – √D) / 2a = (1 – √5) / (-2) ≈ 1.6.
Получаем два корня: x1 ≈ -0.6 и x2 ≈ 1.6.
Теперь проведем анализ интервалов. Для этого выберем произвольную точку из каждого интервала и проверим ее на удовлетворение неравенству.
Выберем точку x = -1 (меньше x1):
-x^2 + x + 1 = -1^2 + (-1) + 1 = 1 > 0.
Выберем точку x = 0 (между x1 и x2):
-x^2 + x + 1 = -0^2 + 0 + 1 = 1 > 0.
Выберем точку x = 2 (больше x2):
-x^2 + x + 1 = -2^2 + 2 + 1 = -3 < 0.
Итак, решением неравенства -x^2 + x + 1 > 0 является интервал (-∞, x1) объединенный с (x2, +∞), или в виде интервалов: (-∞, -0.6) ∪ (1.6, +∞).