Для начала, попробуем упростить данное выражение.
– Рассмотрим первую часть: (3+6+9+…+3п)/(п+7).
Заметим, что это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и шагом 3, а последний член это 3п.
Используя формулу арифметической прогрессии, можем записать:
(3+6+9+…+3п) = (п/2)(3 + 3п) = 3п^2/2 + 3п/2 = 3п(п + 1)/2.
– Рассмотрим вторую часть: 3/2*(п+1). Применим распределительное свойство:
3/2*(п+1) = 3п/2 + 3/2.
Теперь, объединим эти две части и составим исходное выражение:
((3+6+9+…+3п)/(п+7) – 3/2⋅(п+1)) = (3п(п + 1)/2)/(п+7) – (3п/2 + 3/2).
Чтобы вычислить предел данного выражения при n → ∞, нам необходимо обратить внимание на старшие слагаемые.
Старшие слагаемые в числителе и знаменателе – это пп, т.е. плоскость погрешности.
Когда n стремится к бесконечности, нам необходимо сосредоточиться только на этих слагаемых.
Так как пп/п = п и n/п = 1, то исходное выражение можно упростить:
(3п(п + 1)/2)/(п+7) – (3п/2 + 3/2) = (3п^2/2)/(п+7) – 3п/2 – 3/2
= 3п^2/2п – 3п/2 – 3/2
= 3п/2 – 3п/2 – 3/2
= -3/2.
Таким образом, предел данного выражения при n → ∞ равен -3/2.