Для решения этой задачи без использования правила Лопиталя воспользуемся следующими шагами:
1. Начнем с исходного выражения: lim_x->∞ ln((3+x)/x)^(2x).
2. Применим свойство логарифмов: ln(a^b) = b * ln(a). Таким образом, можно переписать исходное выражение в виде 2x * ln((3+x)/x).
3. Вынесем 2x за скобки: lim_x->∞ 2x * ln(1 + (3/x)).
4. Заметим, что x увеличивается до бесконечности, поэтому (3/x) стремится к 0.
5. Используем свойство ln(1 + a) ~ a (при a стремящимся к 0): lim_x->∞ 2x * (3/x).
6. Упрощаем выражение: lim_x->∞ 6.
7. Ответ: lim_x->∞ ln((3+x)/x)^(2x) = 6.
P.S. В данной задаче необходимо было найти предел данной функции при x стремящемся к бесконечности. Использование правила Лопиталя исключено, поэтому мы переписали выражение с использованием свойств логарифмов и предела отношения функций. Получили предел, равный 6, что является ответом на задачу.