Дана функция ( f(x) = frac{e^{sin(2x)} – e^{tan(2x)}}{lnleft(2, frac{x}{pi}right)} ). Найти ее предел при ( x to frac{pi}{2} ).
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся правилом Лопиталя. Сначала найдем производные функций ( e^{sin(2x)} ), ( e^{tan(2x)} ) и ( lnleft(2, frac{x}{pi}right) ), а затем воспользуемся правилом Лопиталя для пределов.
1. Найдем производную функции ( e^{sin(2x)} ):
( frac{d}{dx}(e^{sin(2x)}) = 2cos(2x)e^{sin(2x)} ).
2. Найдем производную функции ( e^{tan(2x)} ):
( frac{d}{dx}(e^{tan(2x)}) = 2sec^2(2x)e^{tan(2x)} ).
3. Найдем производную функции ( lnleft(2, frac{x}{pi}right) ):
Для удобства воспользуемся свойством логарифма: ( lnleft(2, frac{x}{pi}right) = frac{lnleft(frac{x}{pi}right)}{ln(2)} ).
( frac{d}{dx}left(frac{lnleft(frac{x}{pi}right)}{ln(2)}right) = frac{frac{1}{x}}{ln(2)} = frac{1}{xln(2)} ).
Теперь применим правило Лопиталя:
( lim_{x to frac{pi}{2}} frac{2cos(2x)e^{sin(2x)} – 2sec^2(2x)e^{tan(2x)}}{frac{1}{xln(2)}} ).
Подставляем ( x = frac{pi}{2} ):
( frac{2cos(pi)e^{sin(pi)} – 2sec^2(pi)e^{tan(pi)}}{frac{1}{frac{pi}{2}ln(2)}} ).
Так как ( cos(pi) = -1 ), ( sin(pi) = 0 ), ( tan(pi) = 0 ), а ( sec(pi) ) не существует,
получаем следующий предел:
( lim_{x to frac{pi}{2}} frac{-2e^0 – 2cdot infty cdot e^0}{frac{1}{frac{pi}{2}ln(2)}} ).
Упрощаем выражение:
( lim_{x to frac{pi}{2}} frac{-2}{frac{1}{frac{pi}{2}ln(2)}} = lim_{x to frac{pi}{2}} -4piln(2) = -4piln(2) ).
Итак, предел функции ( f(x) ) при ( x to frac{pi}{2} ) равен ( -4piln(2) ).