Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения выражения. В данном случае, используем свойство логарифма logₐ(b) = logₐ(c) * log_c(b), где a, b и c являются положительными числами и a ≠ 1.
1. Разложим заданное выражение log₈(64 * ⁴√2).
2. Если рассмотреть 64 как ⁴√2 в четвертой степени (64 = (⁴√2)⁴), то можно переписать выражение в следующем виде: log₈((⁴√2)⁴).
3. С помощью свойства логарифма, мы можем записать это как 4 * log₈(⁴√2).
4. Так как основание логарифма равно 8, мы можем переписать ⁴√2 как 2^(1/4) (корень четвертой степени).
5. В результате получаем выражение: 4 * log₈(2^(1/4)).
6. Далее, используем свойство логарифма logₐ(b) = logₐ(c) * log_c(b) для записи нашего выражения в виде 4 * (log₈(2) / log₈(8)).
7. Так как log₈(8) = 1 (поскольку 8 в степени 1 равно 8), мы можем упростить выражение до 4 * (log₈(2) / 1).
8. Финальный ответ: 4 * log₈(2), что можно также записать как logₘ(2^4), где м = 8.
Таким образом, log₈(64 ⁴√2) равно log₈(2^4), или, эквивалентно, logₘ(2^4), где m = 8.