Обозначим точку пересечения луча АК с плоскостью а за Е. Также проведем отрезок ЕB, параллельный лучу АС, и отрезок ЕС, параллельный лучу АВ. Тогда треугольник АВС будет подобен треугольнику ЕBC, так как углы АВС и ЕBC вертикальные и равны 60 градусам, а углы АСВ и ЕCB тупые и также равны 60 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник АЕD. Угол АЕД равен 90 градусам, так как плоскость а перпендикулярна плоскости АВС. Угол ДЕА равен 60 градусам, так как луч АК параллелен лучу АВ. Таким образом, треугольник АЕД является прямоугольным с углами 90, 60 и 30 градусов.
Из подобия треугольников АВС и ЕBC, можно заключить, что отношение длин отрезков EB и AB равно отношению длин сторон треугольников АВС и ЕBC. То есть EB/AB = BC/AC.
Так как угол BAC равен 60 градусам, а угол ABC равен 90 градусам, то треугольник ABC является 30-60-90 треугольником. В таких треугольниках отношение длины гипотенузы к длине катета, напротив 30-градусного угла, равно √3. Таким образом, отношение длин сторон треугольника ABC равно √3.
Следовательно, EB/AB = BC/AC = √3.
Заметим, что AB равно AC, так как угол ABC равен углу ACB и сторона AB равна стороне AC в треугольнике ABC.
Тогда EB/AB = BC/AC = √3 = √3/1.
Из этого следует, что EB/AB = BC/AC = CB/BC = √3/1.
Теперь рассмотрим треугольник ЕBC. Угол ЕBC равен 90 градусам, так как он является углом прямоугольного треугольника АЕД. Угол BCЕ равен 30 градусам, так как он равен углу BAC. Таким образом, треугольник ЕBC – труегольник 30-60-90.
В таких треугольниках длина гипотенузы равна удвоенной длине катета, напротив 30-градусного угла. Таким образом, отрезок EB равен √3 * BC.
Зная отношение EB/AB = √3/1, можно записать AB как AB = EB/√3.
Подставив выражение для EB, получим AB = (√3 * BC)/√3 = BC.
Таким образом, сторона треугольника ABC имеет длину BC.
Периметр треугольника ABC равен 3 * BC.
Площадь треугольника ABC равна (BC^2 * √3)/4, так как треугольник ABC – равносторонний.
Значит, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки пересечения лучей АВ, АС и АD с плоскостью а, равны 3 * BC и (BC^2 * √3)/4 соответственно.