Мама и сын родились в один и тот же день. Два года назад в день их рождения мама была в 5 раз старше сына, а ещё через 4 года сын будет втрое младше матери. Сколько сейчас лет сыну и сколько – матери?

Пусть сейчас сыну x лет, а маме – y лет.

Запишем уравнение, исходя из условия задачи:
1) Два года назад мама была в 5 раз старше сына. Тогда возраст мамы был y-2 лет, а возраст сына – x-2 лет. Уравнение будет выглядеть так:
y – 2 = 5*(x – 2)

2) Через 4 года сын будет втрое младше матери. Тогда возраст сына будет x+4 лет, а возраст матери – y+4 лет. Уравнение будет выглядеть так:
x + 4 = 3*(y + 4)

Теперь решим систему уравнений:
y – 2 = 5x – 10 (1)
x + 4 = 3y + 12 (2)

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнений:
5x – y = 8 (3)
x – 3y = 8 (4)

Умножим уравнение (4) на 5 и сложим его с уравнением (3):
5(5x – y) + (x – 3y) = 40
25x – 5y + x – 3y = 40
26x – 8y = 40

Разделим это уравнение на 2, чтобы упростить расчеты:
13x – 4y = 20 (5)

Умножим уравнение (4) на 13 и сложим его с уравнением (5):
13(x – 3y) + 13(x + 4) = 8 + 20
13x – 39y + 13x + 52 = 28
26x – 39y = -24

Вычтем уравнение (5) из полученного уравнения:
(26x – 39y) – (13x – 4y) = -24 – 20
26x – 13x – 39y + 4y = -44
13x – 35y = -44 (6)

Теперь решим систему уравнений (3) и (6):
26x – 8y = 40 (3)
13x – 35y = -44 (6)

Умножим уравнение (3) на 2 и сложим его с уравнением (6):
52x – 16y + 13x – 35y = 80 – 44
65x – 51y = 36

Разделим это уравнение на 13:
5x – 3y = 36/13

Теперь у нас есть система уравнений:
5x – 3y = 36/13 (7)
13x – 35y = -44 (6)

Умножим уравнение (7) на 13 и сложим его с уравнением (6):
65x – 39y + 13x – 35y = 36 – 44
78x – 74y = -8

Поделим это уравнение на 2:
39x – 37y = -4

Теперь решим систему уравнений (6) и (8):
13x – 35y = -44 (6)
39x – 37y = -4 (8)

Умножим уравнение (6) на 3 и сложим его с уравнением (8):
39x – 105y + 39x – 37y = -132 – 4
78x – 142y = -136

Теперь у нас есть система уравнений:
78x – 142y = -136 (9)
39x – 37y = -4 (8)

Умножим уравнение (8) на 2 и сложим его с уравнением (9):
39x – 37y + 78x – 142y = -8 – 136
117x – 179y = – 144

Выразим x из уравнения (9):
117x – 179y = – 144
117x = 179y – 144
x = (179y – 144)/117

Подставим это значение x в уравнение (8):
39(179y – 144)/117 – 37y = -4
39(179y – 144) – 37*117y = -468
6981y – 5616 – 4329y = -468
2652y = 4148
y = 4148/2652
y ≈ 1.563

Теперь найдем x, подставив значение y в уравнение (6):
13x – 35*1.563 = -44
13x – 54.721 = -44
13x = -44 + 54.721
13x = 10.721
x = 10.721/13
x ≈ 0.825

Таким образом, сыну около 0.825 года (или около 10 месяцев), а матери – около 1.563 лет (или около 18 месяцев).