На дне рождения Вани было 1000 шариков. Несколько шариков Ваня забрал себе, а остальные решил подарить гостям. Он заметил, что если распределить их поровну между тремя детьми, то останется ровно 2 лишних шарика, если распределить поровну между семью детьми – 5 лишних шариков, а если между пятью – лишних шариков не будет. Какое минимальное количество шариков Ваня мог оставить себе?

Пусть x – количество шариков, которое Ваня оставил себе.

Заметим, что x должно быть больше или равно 0 и меньше 1000, так как Ваня не может взять больше шариков, чем было на вечеринке.

Согласно условию, должно выполняться три уравнения:

x ≡ 2 (mod 3), (1)

x ≡ 5 (mod 7), (2)

x ≡ 0 (mod 5). (3)

(Здесь ≡ обозначает сравнение по модулю.)

Решим эти уравнения по очереди:

Из уравнения (1) следует, что x = 3a + 2 для некоторого целого a.

Подставив это выражение в уравнение (2), получим:

3a + 2 ≡ 5 (mod 7).

Вычитая 2 из обеих частей этого уравнения, получим:

3a ≡ 3 (mod 7), или эквивалентно a ≡ 1 (mod 7).

Следовательно, a = 7b + 1 для некоторого целого b.

Подставив это выражение в уравнение (1), получим:

x = 3(7b + 1) + 2 = 21b + 5.

Но x должно быть кратно 5, поэтому мы должны найти наименьшее значение b, для которого 21b + 5 кратно 5.

21b + 5 ≡ 0 (mod 5).

Вычитая 5 из обеих частей этого уравнения получим:

21b ≡ -5 (mod 5), или эквивалентно b ≡ 0 (mod 5).

Следовательно, b = 5c для некоторого целого c.

Подставив это выражение обратно в уравнение для x, получим:

x = 21(5c) + 5 = 105c + 5.

Таким образом, наименьшее значение x, удовлетворяющее всем условиям, равно 5.

Ответ: Ваня мог оставить себе минимальное количество шариков – 5.