На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 2010-го дня. (Средним арифметическим двух чисел a и b называется число (a+b)/2, а средним гармоническим – число 2/(1/a + 1/b)).

Пусть вечером после i-го дня на доске записаны числа a_i и b_i. Заметим, что числа на доске после каждого дня можно выразить через числа на доске в предыдущий день:

a_i = (a_{i-1} + b_{i-1})/2,
b_i = 2/(1/a_{i-1} + 1/b_{i-1}).

Найдем эти выражения для первого дня:

a_1 = (1 + 2)/2 = 1.5,
b_1 = 2/(1/1 + 1/2) = 1.333.

Продолжим подставлять эти выражения в формулы для a_i и b_i:

a_2 = (a_1 + b_1)/2 = (1.5 + 1.333)/2 = 1.4165,
b_2 = 2/(1/1.5 + 1/1.333) ≈ 1.4118.

Продолжая этот процесс, найдем числа на доске через несколько дней:

a_3 ≈ 1.4142,
b_3 ≈ 1.4142,
a_4 ≈ 1.4142,
…

Заметим, что начиная с третьего дня числа на доске приближаются к значению √2 ≈ 1.4142. То есть, после третьего дня a_i и b_i примут значения 1.4142, и они будут оставаться неизменными вплоть до 2010-го дня.

Ответ: произведение чисел на доске вечером 2010-го дня равно (1.4142)² = 1.999960964.