Рассмотрим большой квадрат со стороной 29. Площадь этого квадрата равна 29^2 = 841. Маленький квадрат со стороной 12 имеет площадь 12^2 = 144. Тогда отношение площадей маленького и большого квадратов равно 144/841 ≈ 0.17134.
Таким образом, вероятность попадания случайно выбранной точки в маленький квадрат равна 0.17134.
Математическое ожидание ( ) можно найти, учитывая, что выбор точки в большом квадрате можно рассматривать как серию независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0.17134. Количество выпадений «успеха» в этих испытаниях будет случайной величиной . Следовательно, ( ) = 1/p = 1/0.17134 ≈ 5.823.
Дисперсию ( ) можно найти с помощью формулы ( ) = (1 − ), где – количество испытаний, – вероятность успеха. В нашем случае, = 1/p ≈ 5.823 и = 0.17134. Подставляем в формулу и получаем ( ) ≈ 5.823 * 0.17134 * (1 – 0.17134).
Вероятность ( ≤14) — это вероятность того, что понадобится 14 или меньше бросаний, чтобы попасть в маленький квадрат. Это можно вычислить, просуммировав вероятности успеха для каждого числа бросаний от 1 до 14. Так как каждое бросание является независимым испытанием Бернулли, вероятность успеха для каждого отдельного бросания равна p = 0.17134. Поэтому ( ≤14) = ( =1) + ( =2) + … + ( =14) =
= (0.17134)^1 + (0.17134)^2 + … + (0.17134)^14.
Подставляем значения и суммируем, чтобы получить ответ.
Ответы:
( ) ≈ 5.823
( ) ≈ 8.905
( ≤14) = (0.17134)^1 + (0.17134)^2 + … + (0.17134)^14 (сумма геометрической прогрессии со значениями p = 0.17134 и количество слагаемых 14)