На плоскости нарисовали 13 прямых. Только в одной точке пересекаются больше двух из них. Также отмечено некоторое количество точек. Оказалось, что на каждой прямой отмечено не менее 6 точек. Какое наименьшее число точек могло быть отмечено?

Рассмотрим сначала ситуацию, когда на каждой прямой отмечено ровно 6 точек. Каждая прямая пересекает остальные 12 прямых в одной точке. Таким образом, общее число точек равно 6 (точек на каждой прямой) * 13 (прямых) = 78 точек.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда на одной из прямых отмечено более 6 точек. Пусть на этой прямой отмечено а точек, где а > 6. Тогда каждая прямая, кроме этой, будет пересекать остальные 12 прямых в одной точке, а данная прямая будет пересекать каждую прямую в а – 6 точках (поскольку уже отмечено 6 точек на ней). Получаем, что общее число точек будет равно (а – 6) (точек на данной прямой) + 6 (точек на каждой другой прямой) * 12 (остальные прямые) + 6 (точек на каждой другой прямой) = а + 72 точек.

Значит, общее число точек будет наименьшим, если на одной из прямых будет отмечено ровно 6 точек. Данное количество точек достигается, например, если на каждой из 13 прямых отметить по 6 точек. Таким образом, наименьшее число отмеченных точек равно 6 * 13 = 78 точек.