Чтобы найти коэффициент при x^4 в разложении многочлена (1-2x+x^2)^8, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула гласит, что для разложения (a+b)^n находим коэффициенты каждого слагаемого с помощью сочетаний: C(n, k)*a^(n-k)*b^k, где C(n, k) – число сочетаний из n по k.
В нашем случае у нас есть многочлен (1-2x+x^2)^8. Разложим его с помощью бинома Ньютона. Первое слагаемое будет сочетанием из 8 по 0, т.е. 1*(1^8)*(2x)^0 = 1. Второе слагаемое будет сочетанием из 8 по 1, т.е. 8*(1^7)*(2x)^1 = 16x. Третье слагаемое будет сочетанием из 8 по 2, т.е. 28*(1^6)*(2x)^2 = 112x^2. Продолжим этот процесс и найдем слагаемое при x^4.
Слагаемое при x^4 будет сочетанием из 8 по 4: C(8, 4)*(1^4)*(2x)^4 = 70*(1^4)*(2x)^4 = 70*16*x^4 = 1120x^4.
Таким образом, коэффициент при x^4 в разложении многочлена (1-2x+x^2)^8 равен 1120.