Для того чтобы найти область сходимости ряда ln(1+x/n^3), нужно определить, при каких значениях x данный ряд сходится.
Для рассмотрения сходимости данного ряда воспользуемся признаком сходимости ряда Маклорена для функции ln(1+x). По этому признаку, ряд сходится, если без ограничения общности заменим x на |x| и убедимся, что ряд сходится в окрестности x=0.
Таким образом, замена x на |x| в функции в ряде дает:
ln(1+|x|/n^3)
Далее, рассмотрим предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности:
lim(n->∞) ln(1+|x|/n^3)
Мы можем заменить |x| на x, поскольку мы рассматриваем сходимость в окрестности x=0. Итак, мы получим:
lim(n->∞) ln(1+x/n^3)
Заметим, что предел ln(1+x/n^3) при n стремящемся к бесконечности равен ln(1), что равно 0.
Следовательно, ряд сходится при любых значениях x.
Таким образом, область сходимости ряда ln(1+x/n^3) от n=2 равна всей числовой прямой (-∞, +∞).