Дано два неравенства:
1) x^2 + y^2 – 2x >= 0
2) x^2 + y^2 – 4x >= 0
Для того чтобы найти площадь фигуры, заданной этими неравенствами, мы должны определить область на плоскости, которая удовлетворяет обоим неравенствам.
Рассмотрим первое неравенство: x^2 + y^2 – 2x >= 0. Мы можем преобразовать его, чтобы получить уравнение окружности: (x-1)^2 + y^2 >= 1.
Теперь рассмотрим второе неравенство: x^2 + y^2 – 4x >= 0. Аналогично, преобразуем его, чтобы получить уравнение окружности: (x-2)^2 + y^2 >= 4.
Уравнения окружностей имеют центры в точках (1,0) и (2,0), и радиусы равны 1 и 2 соответственно.
Теперь нарисуем обе окружности на плоскости:
Уравнение окружности (x-1)^2 + y^2 = 1 задает окружность с центром в точке (1,0) и радиусом 1. Она представляет собой окружность с радиусом 1, которая пересекает ось x в точках (0,0) и (2,0).
Уравнение окружности (x-2)^2 + y^2 = 4 задает окружность с центром в точке (2,0) и радиусом 2. Она представляет собой окружность с радиусом 2, которая пересекает ось x в точках (0,0) и (4,0).
Теперь найдем область, которая удовлетворяет обоим неравенствам:
Поскольку в обоих неравенствах фигуры используются знаки “>=”, то нужно найти перекрывающуюся область, которая содержит точки обеих окружностей (1,0) и (2,0) плюс все точки между ними.
Эта пересекающаяся область представляет собой фигуру, которая ограничена двумя окружностями и вертикальными линиями x=1 и x=2.
Изобразим перекрывающуюся область на плоскости:
________________
_____| ________|_____
______|____________/
______|_______________________
______|______________________________
________|_________________________________
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной двумя окружностями и вертикальными линиями x=1 и x=2, равна S.
Чтобы найти S, вычислим площадь каждой части фигуры отдельно и затем сложим их.
Первая часть фигуры представляет собой полукруг радиуса 1, ограниченный вертикальной линией x=1. Площадь этой части равна 1/2 * pi * 1^2 = pi/2.
Вторая часть фигуры представляет собой сектор полукруга радиусом 1 между вертикальными линиями x=1 и x=2. Площадь этой части равна 1/2 * pi * 1^2 * (1/2) = pi/4.
Третья часть фигуры представляет собой прямоугольник шириной 1 и высотой 2 (x=2 – x=1, y=1 – y=-1). Площадь этой части равна 1 * 2 = 2.
Таким образом, общая площадь фигуры S равна pi/2 + pi/4 + 2 = 3pi/4 + 2.
Коэффициент при Pi равен 3/4, поэтому ответ: 3/4.