Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции необходимо анализировать ее производную.
1. Найдем производную функции y по x. Для этого применим правило дифференцирования степенной функции, поскольку функция дана в виде полинома:
y’ = 3x^2 – 30x
2. Решим уравнение y’ = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю:
3x^2 – 30x = 0
3. Факторизуем это уравнение:
3x(x – 10) = 0
Здесь получаем два значения x: x = 0 и x = 10.
4. Разобьем действительную ось на три интервала, используя найденные значения x: (-∞, 0), (0, 10) и (10, +∞).
5. Выпишем значения производной y’ на каждом из этих интервалов и определим знак производной на каждом интервале:
– Для интервала (-∞, 0), выбираем произвольное значение x, например, x = -1, и подставим его в y’. Получим y’ = 3(-1)^2 – 30(-1) = 3 + 30 = 33. Таким образом, y’ > 0 на этом интервале.
– Для интервала (0, 10), выбираем произвольное значение x, например, x = 5, и подставим его в y’. Получим y’ = 3(5)^2 – 30(5) = 75 – 150 = -75. Таким образом, y’ < 0 на этом интервале. - Для интервала (10, +∞), выбираем произвольное значение x, например, x = 11, и подставим его в y'. Получим y' = 3(11)^2 - 30(11) = 363 - 330 = 33. Таким образом, y' > 0 на этом интервале.
6. Итак, получаем интервалы возрастания и убывания функции:
– Функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (10, +∞).
– Функция убывает на интервале (0, 10).
Таким образом, мы нашли интервалы возрастания и убывания для заданной функции y = x^3 – 15x^2 + 3.