Данная задача требует найти интервалы выпуклости и вогнутости функции y = ln(x)/x.
1. Найдем производную функции y по x, используя правила дифференцирования:
y’ = (1 – ln(x))/x^2
2. Чтобы найти точки, в которых выполняется равенство y” = 0, найдем производную второго порядка:
y” = (-1 + 2ln(x))/x^3
3. Найдем точки, в которых выполняется y” = 0:
-1 + 2ln(x) = 0
2ln(x) = 1
ln(x) = 1/2
x = e^(1/2) ≈ 1.6487
4. Из критерия знака производной второго порядка можно сделать выводы о выпуклости и вогнутости функции:
– Если y” > 0, то функция выпукла.
– Если y” < 0, то функция вогнута.
- Если y'' = 0, то необходимо провести дополнительные исследования.
5. Исследуем интервалы:
a) Для x < e^(1/2):
Подставим значение x < e^(1/2) в y'':
-1 + 2ln(x) < 0
Так как y'' < 0, функция вогнута на этом интервале.
б) Для x > e^(1/2):
Подставим значение x > e^(1/2) в y”:
-1 + 2ln(x) > 0
Так как y” > 0, функция выпукла на этом интервале.
в) В точке x = e^(1/2):
Подставим значение x = e^(1/2) в y”:
-1 + 2ln(e^(1/2)) = -1 + 2(1/2) = 0
Дополнительные исследования не дают нам информации о выпуклости или вогнутости функции на этом интервале.
Итак, мы получили, что функция y = ln(x)/x вогнута на интервале (0, e^(1/2)) и выпукла на интервале (e^(1/2), +∞). В точке x = e^(1/2) нужно провести дополнительные исследования, чтобы определить ее поведение.