Данная задача является задачей оптимизации, где требуется найти наименьшее значение функции в заданной области.
Шаги решения:
1. Запишем данную функцию: z = y^2 + 3x^2 – 7x.
2. Поскольку данная функция не имеет явного ограничения, ограничимся заданной областью – кругом с центром в начале координат и радиусом 4 (x^2 + y^2 <= 16).
3. Запишем уравнение окружности: x^2 + y^2 = 16.
4. Подставим y^2 + 3x^2 - 7x вместо z в уравнение окружности: y^2 + 3x^2 - 7x = 16.
5. Решим заданное уравнение относительно x: 3x^2 - 7x + (y^2 - 16) = 0.
6. Используя квадратное уравнение, найдем значения x: x = (7 ± √(49 - 12(y^2 - 16))) / 6.
7. Подставим найденные значения x в уравнение окружности x^2 + y^2 = 16 для каждого значения y.
8. Выразим z в зависимости от y и найденного значения x: z = y^2 + 3x^2 - 7x.
9. Для каждого значения y найдем соответствующее значение z.
10. Найдем наименьшее значение z среди всех рассчитанных значений.
11. Округлим полученный результат до двух десятичных знаков.
Ответ: наименьшее значение функции z в заданной области равно _________.