Мы будем искать неопределенный интеграл от функции $frac{dx}{sin^2x cdot sqrt{cot x}}$.
Шаг 1: Преобразование выражения
Начнем с преобразования функции $sqrt{cot x}$. Вспомним, что $cot x = frac{1}{tan x}$, поэтому $sqrt{cot x} = sqrt{frac{1}{tan x}} = frac{1}{sqrt{tan x}}$. Теперь изменим знак квадратного корня на отрицательный: $frac{1}{sqrt{tan x}} = frac{1}{-sqrt{tan x}} = -frac{1}{sqrt{tan x}}$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $frac{dx}{sin^2x cdot sqrt{cot x}} = frac{dx}{sin^2x cdot (-frac{1}{sqrt{tan x}})} = -frac{dx}{sin^2x cdot frac{1}{sqrt{tan x}}} = -frac{dx}{sin^2x cdot frac{1}{sqrt{tan x}}} = -frac{sqrt{tan x}}{sin^2x} cdot dx$.
Шаг 2: Использование формулы идентичности
Воспользуемся формулой идентичности $tan^2x + 1 = sec^2x$. Разделим обе части на $cos^2x$: $frac{tan^2x}{cos^2x} + frac{1}{cos^2x} = frac{1}{cos^2x}$. Получаем $frac{sin^2x}{cos^2x} + 1 = frac{1}{cos^2x}$. Выразим $frac{sin^2x}{cos^2x}$: $frac{sin^2x}{cos^2x} = frac{1}{cos^2x} – 1$.
Теперь заменим $frac{sin^2 x}{cos^2 x}$ в исходном интеграле этим выражением: $- int frac{sqrt{tan x}}{left( frac{1}{cos^2x} – 1 right)} dx$.
Шаг 3: Применение замены переменных
Введем замену переменных: $u = tan x$ и $du = sec^2x cdot dx$. Заменим в интеграле: $- int frac{sqrt{u}}{frac{1}{cos^2x} – 1} cdot frac{du}{sec^2x} = – int frac{sqrt{u}}{frac{1}{u} – 1} du$.
Упростим дробь: $frac{1}{frac{1}{u} – 1} = frac{u}{1 – u}$. Подставим это в интеграл: $- int frac{sqrt{u}}{1 – u} du$.
Шаг 4: Использование метода частичного интегрирования
Используем метод частичного интегрирования для интеграла $int frac{sqrt{u}}{1 – u} du$. Разложим интеграл по формуле частичного интегрирования: $- int frac{sqrt{u}}{1 – u} du = -u cdot frac{2}{3} (1 – u)^{frac{3}{2}} + int frac{2}{3} (1 – u)^{frac{3}{2}} du$.
Теперь возьмем интеграл в правой части: $frac{2}{3} int (1 – u)^{frac{3}{2}} du = frac{2}{3} cdot frac{2}{5} (1 – u)^{frac{5}{2}} + C = frac{4}{15} (1 – u)^{frac{5}{2}} + C$.
Итак, окончательный ответ: $-frac{2}{3} u(1 – u)^{frac{3}{2}} + frac{4}{15} (1 – u)^{frac{5}{2}} + C$.
Лучше всего использовать замену переменных для решения этой задачи. Начнем с преобразования функции $sqrt{cot x}$, затем применим формулу идентичности и заменим переменные. После этого применим метод частичного интегрирования для получения окончательного ответа.