Область определения функции y = √(3x – 4x^2) состоит из всех значениях x, для которых выражение 3x – 4x^2 неотрицательно.
Чтобы найти эти значения, мы можем решить неравенство 3x – 4x^2 ≥ 0. Сначала перепишем его в квадратном виде: -4x^2 + 3x ≥ 0.
Затем мы можем факторизовать это выражение, чтобы найти точки пересечения с осью x.
Факторизуя неравенство, получим: x(-4x + 3) ≥ 0.
Теперь рассмотрим два случая:
1. Первый множитель равен нулю: x = 0.
2. Второй множитель равен нулю: -4x + 3 = 0, или x = 3/4.
Теперь, чтобы определить знак на интервалах между и за пределами этих точек, выберем тестовую точку в каждом интервале и проверим, как меняется знак выражения -4x^2 + 3x.
Выберем точку x = -1, x = 1 и x = 2.
Для x = -1: -4(-1)^2 + 3(-1) = -4 + 3 = -1. Знак отрицательный.
Для x = 1: -4(1)^2 + 3(1) = -4 + 3 = -1. Знак отрицательный.
Для x = 2: -4(2)^2 + 3(2) = -16 + 6 = -10. Знак отрицательный.
Теперь мы можем собрать все решения вместе. Область определения функции y = √(3x – 4x^2) – это интервалы, где знак выражения -4x^2 + 3x положительный или ноль: (-∞, 0] ∪ [3/4, ∞).