На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для нахождения области сходимости степенного ряда, мы должны использовать признак сходимости Даламбера или признак сравнения Коши.
Для начала, давайте применим признак Даламбера. Для этого рассмотрим отношение смежных элементов ряда:
D = (x+2)^(n+1) / ((2(n+1)+1)4^(n+1)) * ((2n+1)4^n) / (x+2)^n
Упростив это выражение, получим:
D = (x+2) / (2n+3) * (1/4)
Далее, выражение D должно сходиться к некоторому значению меньше 1, чтобы ряд сходился.
Теперь, чтобы определить область сходимости, мы можем рассмотреть граничные случаи, когда D стремится к 1. В данном случае, поскольку (x+2) и (2n+3) являются положительными величинами, то D стремится к 1, когда (1/4) стремится к 1. Это происходит только при значении (1/4) бесконечно удаленном от 1, т.е. при (1/4) > 1 или (1/4) < -1. Однако, данная ситуация невозможна, так как (1/4) не может быть больше 1 или меньше -1. Таким образом, признак Даламбера не может дать нам определенного результата для области сходимости. Давайте теперь применим признак сравнения Коши. Для этого рассмотрим новый ряд: C = (1/(2n+1)4^n) * (4^(n+1)/(x+2)^(n+1)) Мы можем упростить это выражение: C = 1/2 * (4/((x+2)(2n+1))) Итак, ряд C будет сходиться, если (4/((x+2)(2n+1))) будет стремиться к некоторому значению меньше бесконечности. Теперь, мы можем рассмотреть граничные случаи, когда (4/((x+2)(2n+1))) стремится к бесконечности. Нам нужно найти значения x, при которых это происходит. Для (2n+1) стремящегося к бесконечности, x+2 должно быть положительным и (x+2) > 0.
Таким образом, область сходимости данного степенного ряда – это все значения x, для которых x > -2.
Итак, область сходимости равна (-2, +∞).
